Cmt DM la symétrie de l'orthocentre par rapport au côtés d'un triangle

ABC est un triangle non rectangle. O est le centre de son cercle circonscrit et H son orthocentre. D est le point diamétralement opposé à A sur le cercle circonscrit.

a)Démontrer que (BH) est parallèle à (CD) et que (CH) est parallèle à (BD).

b)Quelle est la nature du quadrilatère BHCD? En déduire que [BC] et [HD] ont le même milieu.

c)H₁ est le symétrique de H par rapport à (BC). Démontrer que (BC) est parallèle à (H₁D).

d)En déduire que H₁ appartient au cercle circonscrit au triangle ABC.

Correction :

a)pour (BH) et (CD)

On sait que D est le point diamétralement opposé à A sur le cercle circonscrit. Donc [AD] est un diamètre du cercle.

[AD] est un diamètre du cercle et C un point de ce cercle.
Si le côté d'un triangle est le diamètre d'un cercle et qu'il y a un autre point sur ce cercle alors le triangle est rectangle en ce point.
Donc ADC est un triangle rectangle en C

Dans ABC, BH passe par B et est perpendiculaire à [AC].
Si dans un triangle, une droite est issue d'un sommet et coupe le côté opposé à ce somment perpendiculairement, alors c'est une hauteur du triangle.
Donc BH est une hauteur de ABC issue de B.

CD est perpendiculaire à AC car ACD est rectangle et BH perpendiculaire à AC
Si deux droites sont perpendiculaires à une m^mee troisième alors elle sont parallèle entre elles.
Donc (BH) est parallèle à (CD)

pour (CH) et (BD)

On sait que D est le point diamétralement opposé à A surle cercle circonscrit. Donc [AD] est un diamètre du cercle.


[AD] est un diamètre du cercle et B un point de ce cercle.
Si le côté d'un triangle est le diamètre d'un cercle et qu'il y a un autre point sur ce cercle alors le triangle est rectangle en ce point.
Donc ABD est un triangle rectangle en B.


Dans abc, CH passe par C et est perpendiculaire à [AB].
Si dans un triangle, une droite est issue d'un sommet et coupe le côté opposé à ce somment perpendiculairement, alors c'est une hauteur du triangle.
Donc CH est une hauteur de ABC issue de C.


BD est perpendiculaire à AB car ABD est rectangle et CH perpendiculaire à AB
Si deux droites sont perpendiculaires à une m^mee troisième alors elle sont parallèle entre elles.
Donc (CH) est parallèle à (BD)

b)
(BH) est parallèle à (DC) et (CH) est parallèle à (BD).
Si dans un quadrilatère, les côtés opposés sont parallèles deux à deux alors c'est un parallélogramme.
Donc BHCD est un parallélogramme.

BHCD est un parallélogramme.
Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses diagonales se coupent en leut millieu.
Donc [BC] et [HD] ont le même milieu.

c) On sait que [BC] coupe [HD] en son milieu et [BC] coupe [HH1] en son milieu
Si une droite pas les milieux de deux côtés d'un triangle, alors elle est parallèle au troisième côté du triangle.
Donc (BC)//(H1D)

d)
On sait que (BC)//(H1D) et (BC) est perpendiculaire à [HH1].
Si deux droites sont perpendiculaires a une méme troisième, alors elles sont parallèles entre elles.
Donc [HH1] est perpendiculaire à [H1D].Donc AH1D est rectangle en H1.

On sait que AH1D est rectangle ne H1 et AD l'hypoténuse de ce triangle et le diamètre du cercle.
Si un triangle est rectangle et a pour côté le diamètre d'un cercle alors ce cercle est son cercle circonscrit.
Donc le cercle est le cercle circonscrit à AH1D

DONC ON EN DÉDUIS QUE H1 APPARTIENT AU CERCLE